2011年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学(江西卷)本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分．满分150分，考试时间120分钟．参考公式(理科)：样本数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)的线性相关系数其中锥体体积公式 ，其中S为底面积，h为高参考公式(文科)：样本数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)的回归方程其中，锥体体积公式 ，其中S为底面积，h为高一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若，则复数A．－2－iB．－2＋iC．2－iD．2＋iD．(－1，0)5．已知数列{an}的前n项和Sn满足：Sn＋Sm＝Sn＋m，且a1＝1.那么a10＝( )A．1B．9C．10D．556．变量X与Y相对应的一组数据为(10，1)，(11.3，2)，(11.8，3)，(12.5，4)，(13，5)；变量U与V相对应的一组数据为(10，5)，(11.3，4)，(11.8，3)，(12.5，2)，(13，1)．r1表示变量Y与X之间的线性相关系数，r2表示变量V与U之间的线性相关系数，则( )A．r2＜r1＜0B．0＜r2＜r1C．r2＜(两个务必具体是指：两个务必具体是指：务必使同志们继续地保持谦虚、谨慎、不骄、不躁的作风；务必使同志们继续地保持艰苦奋斗的作风。)0＜r1D．r2＝r17．观察下列各式：55＝3125，56＝15625，57＝78125，…，则52011的末四位数字为( )A．3125B．5625C．0625D．81258．已知α1，α2，α3是三个相互平行的平面，平面α1，α2之间的距离为d1，平面α2，α3之间的距离为d2.直线l与α1，α2，α3分别相交于P1，P2，P3.那么“P1P2＝P2P3”是“d1＝d2”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件9．若曲线C1：x2＋y2－2x＝0与曲线C2：y(y－mx－m)＝0有四个不同的交点，则实数m的取值范围是( )二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．11．已知|a|＝|b|＝2，(a＋2b)(a－b)＝－2，则a与b的夹角为________．12．小波通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆内投掷一点，若此点到圆心的距离大于，则周末去看电影；若此点到圆心的距离小于，则去打篮球；否则，在家看书．则小波周末不在家看书的概率为________．13．下图是某算法的程序框图，则程序运行后输出的结果是________．14．若椭圆的焦点在x轴上，过点(1，)作圆x2＋y2＝1的切线，切点分别为A，B，直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是________．三、选做题：请考生在下列两题中任选一题作答．若两题都做，则按所做的第一题评阅计分．本题共5分．15．(1)(坐标系与参数方程选做题)若曲线的极坐标方程为ρ＝2sinθ＋4cosθ，以极点为原点，极轴为x轴正半轴建立直角坐标系，则该曲线的直角坐标方程为______________．(2)(不等式选做题)对于实数x，y，若|x－1|1，|y－2|1，则|x－2y＋1|的最大值为________．四、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．某饮料公司招聘了一名员工，现对其进行一项测试，以便确定工资级别．公司准备了两种不同的饮料共8杯，其颜色完全相同，并且其中4杯为A饮料，另外4杯为B饮料，公司要求此员工一一品尝后，从8杯饮料中选出4杯A饮料．若4杯都选对，则月工资定为3500元；若4杯选对3杯，则月工资定为2800元；否则月工资定为2100元．令X表示此人选对A饮料的杯数．假设此人对A和B两种饮料没有鉴别能力．(2)求此员工月工资的期望．17．在ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知.(1)求sinC的值；18．已知两个等比数列{an}，{bn}，满足a1＝a(a＞0)，b1－a1＝1，b2－a2＝2，b3－a3＝3.(1)若a＝1，求数列{an}的通项公式；(2)若数列{an}唯一，求a的值．19．设.(1)若f(x)在上存在单调递增区间，求a的取值范围；(2)当0＜a＜2时，f(x)在[1，4]上的最小值为，求f(x)在该区间上的最大值．20．P(x0，y0)(x0a)是上一点，M，N分别是双曲线E的左、右顶点，直线PM，PN的斜率之积为.(1)求双曲线的离心率；(2)过双曲线E的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于A，B两点，O为坐标原点，C为双曲线上一点，满足，求λ的值．21．(1)如图，对于任一给定的四面体A1A2A3A4，找出依次排列的四个相互平行的平面α1，α2，α3，α4，使得Aiαi(i＝1，2，3，4)，且其中每相邻两个平面间的距离都相等；(2)给定依次排列的四个相互平行的平面α1，α2，α3，α4，其中每相邻两个平面间的距离都为1，若一个正四面体A1A2A3A4的四个顶点满足：Aiαi(i＝1，2，3，4)，求该正四面体A1A2A3A4的体积．参考答案1．D 2．B 3．A 4．C 5．A 6．C 7．D 8．C 9．B 10．A 11．答案： 12．答案：13．答案：1014．答案：15．(1)答案：x2＋y2－4x－2y＝0(2)答案：516．解：(1)X的所有可能取值为：0，1，2，3，4，(2)令Y表示新录用员工的月工资，则Y的所有可能取值为2100，2800，3500，所以新录用员工月工资的期望为2280元．17．解：(1)由已知得由a2＋b2＝4(a＋b)－8，得(a－2)2＋(b－2)2＝0，则a＝2，b＝2.由余弦定理得.18．解：(1)设{an}的公比为q，则b1＝1＋a＝2，b2＝2＋aq＝2＋q，b3＝3＋aq2＝3＋q2.由b1，b2，b3成等比数列，得(2＋q)2＝2(3＋q2)，所以{an}的通项公式为.(2)设{an}的公比为q，则由(2＋aq)2＝(1＋a)(3＋aq2)，得aq2－4aq＋3a－1＝0(*)．由a＞0得Δ＝4a2＋4a＞0，故方程(*)有两个不同的实根．由{an}唯一，知方程(*)必有一根为0，代入(*)得19．解：(1)由，所以f(x)在(－，x1)，(x2，＋)上单调递减，在(x1，x2)上单调递增．当0＜a＜2时，有x1＜1＜x2＜4，所以f(x)在[1，4]上的最大值为f(x2)．所以f(x)在[1，4]上的最小值为，得a＝1，x2＝2，从而f(x)在[1，4]上的最大值为.20．解：(1)点P(x0，y0)(x0a)在双曲线上，有，由题意又有可得.(2)联立设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则又C为双曲线上一点，即，有(λx1＋x2)2－5(λy1＋y2)2＝5b2，化简得.又A(x1，y1)，B(x2，y2)在双曲线上，所以.由式又有x1x2－5y1y2＝x1x2－5(x1－c)(x2－c)＝－4x1x2＋5c(x1＋x2)－5c2＝10b2，得λ2＋4λ＝0，解出λ＝0，或λ＝－4.21．解：(1)如图所示， 取A1A4的三等分点P2，P3，A1A3的中点M，A2A4的中点N，过三点A2，P2，M作平面α2，过三点A3，P3，N作平面α3，因为A2P2NP3，A3P3MP2，所以平面α2平面α3，再过点A1，A4分别作平面α1，α4与平面α2平行，那么四个平面α1，α2，α3，α4依次相互平行，由线段A1A4被平行平面α1，α2，α3，α4截得的线段相等知，其中每相邻两个平面间的距离相等，故α1，α2，α3，α4为所求平面． (2)解法一：当(1)中的四面体为正四面体，若所得的四个平行平面，每相邻两平面之间的距离为1，则正四面体A1A2A3A4就是满足题意的正四面体．设正四面体的棱长为a，以A2A3A4的中心O为坐标原点，以直线A4O为y轴，直线OA1为z轴建立如(1)中图的右手直角坐标系，则． 令P2，P3为A1A4的三等分点，N为A2A4的中点，有 设平面A3P3N的法向量n＝(x，y，z)，有所以 因为α1，α2，α3，α4相邻平面之间的距离为1，所以点A4到平面A3P3N的距离为 解得.由此可得，边长为的正四面体A1A2A3A4满足条件．所以所求正四面体的体积. 解法二：如图，现将此正四面体A1A2A3A4置于一个正方体ABCD—A1B1C1D1中(或者说，在正四面体的四个面外侧各镶嵌一个直角正三棱锥，得到一个正方体)，E1，F1分别是A1B1，C1D1的中点，EE1D1D和BB1F1F是两个平行平面，若其距离为1，则四面体A1A2A3A4即为满足条件的正四面体．如图是正方体的上底面，现设正方体的棱长为a， 若A1M＝MN＝1，则有 据A1D1A1E1＝A1MD1E1，得，于是正四面体的棱长，其体积.(即等于一个棱长为a的正方体割去四个直角正三棱锥后的体积)