计算方法习题答案王新民术洪亮编2012/5/10题6）令即有。已知，求差商和。解：根据差商与微商的关系，有10.已知互异，求。其中。（此题有误。）（见王能超《教程》P149－题2）解：因为，则由差商性质可知，11.设首项系数为1的n次式有n个互异的零点，证明证明：按题设，有表达式故原式左端注意到上式右端等于关于节点的阶差商（见2.1式）利用差商与导数的关系（见2.11式）得知13．设节点与点互异，试对证明并给出的插值多项式。故的插值多项式为14．设是任意一个首项系数为1的n+1次多项式，试证明其中。。解：(1)由题意，可设，由Lagrange插值余项公式得由(1)式可知，15．给定数据表：构造出函数的差商表，并写出它的三次插值多项式.解：利用Newton插值公式：先作出差商表一阶差商二阶差商三阶差商3/213/41/21/61/35/3-2/3-5/3-2解法1：根据三次Hermite插值多项式：并依条件，得解法2：由于，故可直接由书中（3.9）式，得17．设充分光滑，，求证证明：显然，满足条件的插值多项式由于18．求作满足条件的插值多项式，并估计其误差。解法1：由已知条件用基函数方法构造。令其中，均为三次多项式，且满足条件依条件可设，由可得：同理，误差为：解法2：用承袭性构造由条件先构造一个二次多项式一阶差商二阶差商于是有：令所求插值多项式利用剩下的一个插值条件，得由此解出故有19．求作满足条件的插值多项式。并给出插值余项。注意到这里是三重零点，是单零点，故插值余项为20．求作次数的多项式，使满足条件并列出插值余项。解法1：由于在处有直到一阶导数值的插值条件，所以它是“二重节点”；而在处有直到二阶导数值的插值条件所以是“三重节点”。因此利用重节点的差商公式：可以作出差商表一阶二阶三阶四阶－1－1101021．设分段多项式是以为节点的三次样条函数，试确定系数的值。解：由可得22．根据给定的数据表-1建立一个三次样条插值函数。节点等距第二章习题答案是区间上带权的最高次项系数为1的正交多项式族，其中，求。解法一：解法二：设，则由求，使积分取得最小值。解：题意即为在中求的最佳平方逼近多项式，故满足法方程或者按下述方法：因为上式分别对求偏导，并令其为零，有从而也有对，定义问它们是否构成内积？推出,即为常数，但不一定为0，故（1）不构成内积。（2）显然内积公理的1），2），3）均满足，考察第四条若，则必有反之，若，则且，由此可推得,即内积公理第四条满足，故（2）构成内积。所以，在上两两正交。（2）设所求多项式为用最小二乘原理求矛盾方程组的最小二乘解。注：给定线性代数方程组，，当时，称其为超定方程组。求使得取最小值。应用微分学中多元函数求极值的方法可以证明为方程组的解。称为超定方程组的最小二乘解。解法一：由题意得：所以即是所求的最小二乘解。误差平方和为解法二：求，使误差平方和为最小，令得方程组如下：解方程组有：10.用最小二乘法求一个形如的经验公式，使它与下列数据相拟合，并估计平方误差。192531384419.032.349.073.397.8将=19,25,31,38,44分别代入，得所以误差11.求形如的经验公式，使它能和下表给出的数据相拟合。15．320．527．436．649．165．687．8117．6设，两边取对数得令，则有设，于是得到正规方程组:其中,正规方程组化为:得=2.4368912.求函数在给定区间上对于的最佳平方逼近多项式：13.上求关于的最佳平方逼近多项式。解：Legendre是[-1，1]上的正交多项式14.求在上的三次最佳平方逼近多项式。15.已知勒让德多项式，试在二次多项式类中求一多项式，使其成为上的最佳平方逼近函数。16.求上的二次最佳平方逼近多项式，并估计平方误差。分别用梯形公式、Simpson公式、Cotes公式计算积分计误差。解：1）用梯形公式有：事实上，2）Simpson公式事实上，3）由Cotes公式有：事实上，2．证明Simpson公式具有三次代数精度。证明：而当时左侧：右侧：左侧不等于右侧。所以Simpson具有三次代数精度.3.分别用复化梯形公式和复化公式Simpson计算下列积分.解：（1）用复化梯形公式有：，由复化Simpson公式有：由复化梯形公式有：由复化公式有：由复化梯形公式：由复化Simpson公式：4．给定求积节点试推出计算积分的插值型求积公式，并写出它的截断误差。考虑到对称性，有，于是有求积公式由于原式含有3个节点，故它至少有2阶精度。考虑到其对称性，可以猜想到它可能有3阶精度。事实上，对原式左右两端相等：此外，容易验证原式对不准确，故所构造出的求积公式有3阶精度。5．给定积分。当误差时，25.6,所以取=26。7．推导下列三种矩形求积公式：证明：将在处Taylor展开，得两边在上积分，得将在处Taylor展开，得两边在上积分，得将在处Taylor展开，得两边在上积分，得8．如果证明用复化梯形公式计算积分所得结果比准确值大，并说明其几何意义。证明：复化梯形公式为若在上连续，则复化梯形公式的余项为由于且所以使则(1)式成为：又因为所以即用复化梯形公式计算积分所得结果比准确值大。其几何意(桃花劫是什么意思？桃花运是命理术数名词，又叫桃花煞。民间说法为“犯桃花”的坏情形，是中国文化中用来形容一个人出现爱情纠葛、异性缘变佳的情形。桃花可分为犯到好的桃花和坏的桃花：好的桃花代表得到良好的异性感情互动；坏的桃花就称桃花劫、桃花煞，指因感情出现纠纷或灾劫。化解方法据说有星命、风水、道术等途径。此外有同名电影、电视剧和歌曲。)义：曲线在定义域内是向下凹的，即曲线在曲线上任两点连线的下方。9．对构造一个至少具有三次代数精度的求积公式。解：因为具有4个求积节点的插值型求积公式，至少有三次代数精度。如果在上取节点0，1，2，3，则插值型求积公式为： 同理求得 即有： 10．判别下列求积公式是否是插值型的，并指明其代数精度：解：插值型求积公式其中因此，是插值型的求积公式。因其求积公式是插值型的，且存在2个节点，所以其代数精度至少是1。对于时，可见它对于不准确成立，故该求积公式的代数精度是1。 11．构造下列求积公式，并指明这些求积公式所具有的代数精度：